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Alfred Tarski

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Alfred Tarski (14 de enero de 1901 - 26 de octubre de 1983) fue un lógico y matemático de considerable importancia filosófica. Miembro brillante de la Escuela de Matemáticas de Varsovia de entreguerras y activo en los Estados Unidos después de 1939, escribió sobre topología, geometría, teoría de la medida, lógica matemática, teoría de conjuntos, metamatemática y, sobre todo, sobre teoría de modelos, álgebra abstracta y lógica algebraica Sus biógrafos, Anita Feferman y Solomon Feferman (2004), escribieron que él era "uno de los mejores lógicos de todos los tiempos ... junto con su contemporáneo, Kurt Gödel, cambió la cara de la lógica en el siglo XX, especialmente a través de su trabajo en el concepto de verdad y la teoría de modelos ".

Vida

Tarski nació Alfred Teitelbaum (ortografía polaca: Tajtelbaum) en Varsovia de padres que eran judíos polacos en circunstancias cómodas. Su madre, Rosa Prussak, se considera responsable de su brillantez posterior. Tarski reveló por primera vez sus habilidades matemáticas en la Schola Mazowiecka de Varsovia, una escuela secundaria inusualmente buena para ese lugar y tiempo. Sin embargo, en 1918 ingresó en la Universidad de Varsovia con la intención de estudiar biología.

En 1919, Polonia recuperó su independencia por primera vez desde 1795, y la Universidad de Varsovia se convirtió en una universidad polaca por primera vez en generaciones. Bajo el liderazgo de Jan Łukasiewicz, Stanisław Leśniewski y Wacław Sierpiński, la universidad se convirtió inmediatamente en un líder mundial en lógica, matemática fundamental, filosofía de la matemática y filosofía analítica y lingüística. En la Universidad de Varsovia, Tarski tuvo un fatídico encuentro con Leśniewski, quien descubrió el genio de Tarski y lo persuadió para que abandonara la biología por las matemáticas. En adelante, Tarski asistió a cursos impartidos por Łukasiewicz, Sierpiński, Stefan Mazurkiewicz y Tadeusz Kotarbiński, y se convirtió en la única persona en completar un doctorado. bajo la supervisión de Leśniewski. Tarski y Leśniewski pronto se enfriaron el uno al otro; En la vida posterior, Tarski reservó sus más sinceros elogios para Tadeusz Kotarbiński.

En 1923, él y su hermano Wacław cambiaron sus apellidos a Tarski, un nombre que inventaron porque sonaba muy polaco, era fácil de deletrear y pronunciar, y no se usó (años más tarde, conoció a otro Alfred Tarski en el norte de California). Los hermanos Tarski también se convirtieron al catolicismo romano, la religión dominante en Polonia. Tarski lo hizo a pesar de que era un ateo declarado porque estaba a punto de terminar su doctorado. y anticipó correctamente que sería difícil para un judío obtener una posición seria en el nuevo sistema universitario polaco (las universidades anteriores a 1918 habían sido controladas por los gobiernos imperial ruso y austrohúngaro). Tarski quedó atrapado en el nacionalismo polaco de la época y deseaba ser aceptado plenamente como polaco. Se mantuvo atento a los asuntos polacos en la conversación durante su vida estadounidense posterior.

Después de convertirse en la persona más joven en completar un Ph.D. en la Universidad de Varsovia, Tarski hizo una variedad de trabajos en Varsovia: enseñando lógica en el Instituto Pedagógico Polaco, matemáticas y lógica en la universidad, y sirviendo como asistente de Lukasiewicz. Debido a que estos puestos estaban mal pagados, Tarski también enseñó matemáticas en una escuela secundaria de Varsovia; antes de la Segunda Guerra Mundial, no era raro que los intelectuales europeos de calibre de investigación enseñaran la escuela secundaria. Debe tenerse en cuenta que entre 1923 y su partida a los Estados Unidos en 1939, Tarski no solo escribió varios libros de texto y muchos documentos, algunos de ellos innovadores, sino que lo hizo mientras se apoyaba principalmente enseñando matemáticas en la escuela secundaria.

En 1929, Tarski se casó con una maestra, Maria Witkowski. Ella había trabajado como mensajera para el ejército durante la lucha de Polonia por la independencia. Tenían dos hijos. También solicitó la cátedra de filosofía en Lvov, pero se le otorgó a Leon Chwistek por recomendación de Bertrand Russell. En 1937, Tarski solicitó una cátedra en la Universidad de Poznan. En lugar de otorgar una silla a alguien de ascendencia judía, se abolió el cargo.

En 1930, Tarski visitó la Universidad de Viena, donde dio una conferencia sobre el coloquio de Carl Menger y conoció a Kurt Gödel. Gracias a una beca, Tarski pudo regresar a Viena durante la primera mitad de 1935 para trabajar con el grupo de investigación de Menger. Desde Viena viajó a París para presentar sus ideas sobre la verdad en la primera reunión del movimiento Unity of Science, una consecuencia del Círculo de Viena.

Los lazos de Tarski con este movimiento finalmente le salvaron la vida, ya que lo invitaron a dirigirse al Congreso de la Unidad de Ciencia, celebrado en septiembre de 1939 en la Universidad de Harvard. Así, salió de Polonia en agosto de 1939 en el último barco que salió de Polonia hacia Estados Unidos antes de la invasión alemana de Polonia y el estallido de la Segunda Guerra Mundial. Tarski se fue de mala gana porque Lesniewski había muerto unos meses antes, creando una vacante que Tarski esperaba llenar. Tarski era tan ajeno a la amenaza nazi que dejó a su esposa e hijos en Varsovia; no los volvió a ver hasta 1946. Casi toda su extensa familia murió a manos de los nazis durante la guerra.

Una vez en los Estados Unidos, Tarski ocupó varios puestos temporales de enseñanza e investigación: la Universidad de Harvard (1939), el City College de Nueva York (1940), y gracias a una beca Guggenheim, el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (1942), donde se encontró de nuevo con Gödel. Tarski se convirtió en ciudadano estadounidense en 1945.

Tarski se unió al Departamento de Matemáticas de la Universidad de California, Berkeley, en 1942, donde pasó el resto de su carrera. Aunque emérito desde 1968 en adelante, enseñó hasta 1973 y supervisó doctorados hasta su muerte el 26 de octubre de 1983. En Berkeley, Tarski adquirió una reputación como un maestro exigente:

Tarski era extrovertido, ingenioso, de carácter fuerte, enérgico y de lengua afilada. Prefería que su investigación fuera colaborativa, a veces trabajando toda la noche con un colega, y era muy exigente con la prioridad. (Gregory Moore, "Alfred Tarski" en Diccionario de Biografía Científica)

Como líder y maestro carismático, conocido por su estilo expositivo brillantemente preciso pero suspenso, Tarski tenía estándares intimidantes para los estudiantes, pero al mismo tiempo podía ser muy alentador, y particularmente para las mujeres, en contraste con la tendencia general. Algunos estudiantes se asustaron, pero quedó un círculo de discípulos, muchos de los cuales se convirtieron en líderes de renombre mundial en el campo. (Feferman 1999)

Tarski supervisó 24 Ph.D. disertaciones, incluidas cinco de mujeres, e influyeron fuertemente en las disertaciones de Alfred Lindenbaum, Dana Scott y Steven Givant. Sus alumnos incluyen a Andrzej Mostowski, Julia Robinson, Robert Vaught, Solomon Feferman, Richard Montague, J. Donald Monk, Donald Pigozzi y los autores del texto clásico sobre teoría de modelos, Chang y Keisler (1973).

Tarski dio una conferencia en el University College de Londres (1950, 1966), el Instituto Henri Poincaré de París (1955), el Instituto Miller de Investigación Básica en Ciencias (1958-1960), la Universidad de California, Los Ángeles (1967) y el Universidad Católica de Chile (1974-1975). Fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias y la Academia Británica, y presidió la Asociación de Lógica Simbólica (1944-1946) y la Unión Internacional para la Historia y la Filosofía de la Ciencia (1956-1957).

Matemático

Los intereses matemáticos de Tarski eran excepcionalmente amplios para un lógico matemático. Sus trabajos recopilados abarcan aproximadamente 2.500 páginas, y la mayoría de esos documentos tratan de matemáticas, no de lógica. Para una encuesta concisa de los logros matemáticos y lógicos de Tarski por su antiguo alumno Solomon Feferman, ver "Interludios I-VI" en Feferman y Feferman (2004).

El primer artículo de Tarski, publicado cuando solo tenía 19 años, estaba en la teoría de conjuntos, un tema al que regresó a lo largo de su vida. En 1924, él y Stefan Banach demostraron que una esfera se puede cortar en un número finito de piezas, y luego volverse a montar en una esfera de mayor tamaño, o alternativamente se puede volver a montar en dos esferas cuyos tamaños son iguales al de la original. Este resultado ahora se llama la paradoja de Banach-Tarski. "Paradójico" aquí significa "contraintuitivo".

Álgebras cardinales estudia álgebras cuyos modelos incluyen la aritmética de números cardinales. Álgebras ordinales establece un álgebra para la teoría aditiva de los tipos de orden. Además conmuta cardinal, pero no ordinal.

En un método de decisión para álgebra y geometría elementales, Tarski demostró, por el método de eliminación del cuantificador, que la teoría de primer orden de los números reales bajo suma y multiplicación es decidible. Este es un resultado muy curioso, porque Alonzo Church demostró en 1936 que la aritmética de Peano (efectivamente, la teoría que Tarski demostró ser decidible, excepto que los naturales reemplazan a los reales) no es decidible. La aritmética de Peano también es incompleta (teorema de incompletitud de Gödel, 1931). En Teorías indecidiblesTarski y col. demostró que muchos sistemas matemáticos, incluida la teoría de la red, la geometría proyectiva abstracta y las álgebras de cierre, son indecidibles. Los grupos abelianos son decidibles, pero los grupos no abelianos no lo son.

En las décadas de 1920 y 1930, Tarski a menudo enseñaba geometría. En 1929, demostró que gran parte de la geometría sólida euclidiana podría reformularse como una teoría de primer orden cuyos individuos son esferas, una noción primitiva, una única relación binaria primitiva "contenida" y dos axiomas que, entre otras cosas, implican que la contención ordena parcialmente las esferas. Relajar el requisito de que todos los individuos sean esferas produce una formalización de la meraología mucho más fácil de exponer que la variante de Lesniewski. A partir de 1926, Tarski ideó una axiomatización original para la geometría euclidiana del avión, una considerablemente más concisa que la de Hilbert Grundlagen der Geometrie. El resultado fue una teoría de primer orden, desprovista de teoría de conjuntos, cuyos individuos son puntos y que solo tienen dos relaciones primitivas. En 1930, demostró que su versión de la geometría del plano euclidiano era decidible porque se mapea en la teoría de primer orden de los números reales, cuya capacidad de decisión se menciona anteriormente. La culminación del trabajo de Tarski sobre geometría es Tarski y Givant (1999).

Tarski (1941) es un documento importante sobre relaciones binarias, cuyos métodos maduraron en una relación poderosa de álgebra y cuyas metamatemáticas Tarski (junto con Roger Lyndon) y sus estudiantes exploraron cuidadosamente. Si bien esa exploración descubrió algunas limitaciones importantes, Tarski también demostró (Tarski y Givant 1987) que el álgebra de relaciones es lo suficientemente potente como para expresar la mayoría de las teorías de conjuntos axiomáticos y la aritmética de Peano. Para una introducción al álgebra de relaciones, ver Maddux (2006). A fines de la década de 1940, Tarski y sus estudiantes idearon álgebras cilíndricas, que son para la lógica de primer orden, lo que el álgebra booleana de dos elementos es para la lógica oracional clásica. Este trabajo culminó en dos monografías de Tarski, Henkin y Monk (1971, 1985).

Lógico

Aristóteles, Gottlob Frege, Kurt Gödel y Tarski a veces son considerados los cuatro mejores lógicos de todos los tiempos (Vaught 1986). De estos cuatro, Tarski fue el mejor matemático y el autor más prolífico. Ni Frege ni Gödel supervisaron nunca un solo doctorado. o coautor de cualquier documento con alguien; Frege era severamente distante en persona y, a menudo, mordazmente sarcástico en la impresión, y Gödel era un famoso recluso. Mientras tanto, a Tarski le encantaba interactuar con personas intelectualmente y socialmente.

Tarski produjo axiomas para consecuencia lógica y trabajó en sistemas deductivos, el álgebra de la lógica y la teoría de la definibilidad. Sus métodos semánticos, cuya culminación fue la teoría modelo que él y varios de sus estudiantes de Berkeley desarrollaron en los años cincuenta y sesenta, transformaron radicalmente la metamatemática de la teoría teórica de Hilbert.

En opinión de Tarski, la metamatemática se volvió similar a cualquier disciplina matemática. No solo sus conceptos y resultados se pueden matematizar, sino que en realidad se pueden integrar en las matemáticas ... Tarski destruyó la frontera entre la metamatemática y las matemáticas. Se opuso a restringir el papel de la metamatemática a los fundamentos de las matemáticas. (Sinaceur 2001)

Todos los lenguajes científicos formales pueden estudiarse mediante la teoría modelo y los métodos semánticos relacionados.

Tarski's 1936 Sobre el concepto de consecuencia lógica argumentó que la conclusión de un argumento seguirá lógicamente de sus premisas si y solo si cada modelo de las premisas es un modelo de la conclusión. En 1937, publicó un documento que presenta claramente sus puntos de vista sobre la naturaleza y el propósito del método deductivo, y considera el papel de la lógica en los estudios científicos. Su enseñanza de bachillerato y licenciatura en lógica y axiomática culminó en su texto corto clásico, publicado primero en polaco, luego en traducción al alemán y finalmente en una traducción al inglés de 1941 como Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas.

Tarski's 1969 Verdad y prueba consideró tanto los teoremas de incompletitud de Gödel como el teorema de indefinibilidad de Tarski, y reflexionó sobre sus consecuencias para el método axiomático en matemáticas.

La verdad en los idiomas formalizados.

El estándar "Convención T" (también esquema T) en su "definición inductiva de verdad" fue una contribución importante a la lógica simbólica, la semántica y la filosofía del lenguaje.

"El concepto de verdad en los idiomas formalizados" es un documento largo (más de cien páginas) que establece una definición matemática de la verdad para los lenguajes lógicos. Primero apareció en 1933 en polaco ("Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych") y luego en 1935 en alemán, bajo el título "Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven Disziplinen". Por lo tanto, a veces se lo denomina "Wahrheitsbegriff". Su primera aparición completa en inglés fue en 1956 en la primera edición de Lógica, Semántica, Metamatemática.

El concepto de verdad de Tarski influyó bastante en los miembros del Círculo de Viena y en Karl Popper, que lo acredita explícitamente.

Algún debate filosófico reciente ha examinado hasta qué punto la teoría de la verdad de Tarski para los lenguajes formalizados puede verse como una teoría de la verdad por correspondencia. El debate se centra en cómo leer la condición de adecuación material de Tarski para una definición de verdad. Esa condición requiere que la teoría de la verdad tenga los siguientes teoremas para todas las oraciones P del lenguaje para el que se define la verdad:

'P' es verdadero si y solo si p.

(donde p es la proposición expresada por "P")

El debate equivale a leer oraciones de esta forma, tales como:

"La nieve es blanca" es verdadera si y solo si la nieve es blanca, ya que expresa simplemente una teoría deflacionaria de la verdad o personifica la verdad como una propiedad más sustancial. (Ver Kirkham 1992)

Consecuencia lógica

En 1936, Tarski publicó versiones polacas y alemanas de una conferencia que había dado el año anterior en el Congreso Internacional de Filosofía Científica en París. Una nueva traducción al inglés de este documento, Tarski (2002), resalta las muchas diferencias entre las versiones alemana y polaca del documento, y corrige varias traducciones erróneas en Tarski (1983).

Esta publicación establece la definición moderna teórica del modelo de consecuencia lógica (semántica) o la base de esa noción moderna. Si la noción de Tarski era la moderna, depende de si tenía la intención de admitir modelos con dominios variables (y en particular, modelos con dominios de diferentes cardinalidades). Esta pregunta es un tema de debate en la literatura filosófica actual. Etchemendy (1999) estimularon gran parte de la discusión reciente sobre el tratamiento de Tarski de diversos dominios.

Tarski termina señalando que su definición de consecuencia lógica depende de una división de términos en lo lógico y lo extralógico y expresa cierto escepticismo de que se produzca tal división objetiva. "¿Qué son las nociones lógicas?" por lo tanto, puede verse como continua "Sobre el concepto de consecuencia lógica".

¿Qué son las nociones lógicas?

Otra teoría de la atención de Tarski en la literatura filosófica reciente es la que se describe en su ¿Qué son las nociones lógicas? (Tarski 1986). Esta es la versión publicada de una charla que dio en 1966; Fue editado sin su participación directa.

En la charla, Tarski propuso una demarcación de las operaciones lógicas (que él llama "nociones") de las no lógicas. Los criterios sugeridos se derivaron del programa Erlangen del matemático alemán del siglo XIX Felix Klein (Mautner 1946).

Ese programa clasificó los diversos tipos de geometría (geometría euclidiana, geometría afín, topología, etc.) por el tipo de transformación uno-uno del espacio sobre sí mismo que dejó invariantes los objetos de esa teoría geométrica (una transformación uno-uno es funcional mapa del espacio sobre sí mismo para que cada punto del espacio esté asociado o mapeado a otro punto del espacio. Entonces, "rotar 30 grados" y "magnificar por un factor de 2" son descripciones intuitivas de uno uniforme simple una transformaciones). Las transformaciones continuas dan lugar a los objetos de topología, transformaciones de similitud a las de la geometría euclidiana, etc.

A medida que el rango de transformaciones permisibles se hace más amplio, el rango de objetos que uno puede distinguir como preservado por la aplicación de las transformaciones se vuelve más estrecho. Las transformaciones de similitud son bastante estrechas (preservan la distancia relativa entre puntos) y, por lo tanto, nos permiten distinguir relativamente muchas cosas (triángulos equiláteros de triángulos no equiláteros, por ejemplo). Las transformaciones continuas (que intuitivamente pueden considerarse transformaciones que permiten el estiramiento, la compresión, la flexión y la torsión no uniformes, pero sin rasgar ni pegar) nos permiten distinguir un polígono de un anillo (anillo con un agujero en el centro), pero no nos permite distinguir dos polígonos entre sí.

La propuesta de Tarski era demarcar las nociones lógicas teniendo en cuenta todas las posibles transformaciones uno a uno de un dominio sobre sí mismo (por dominio aquí se entiende el universo del discurso de un modelo para la teoría semántica de una lógica. Una transformación unívoca de un conjunto sobre sí mismo también se conoce como automorfismo). Si uno identifica el valor de verdad Verdadero con el conjunto de dominios y el valor de verdad Falso con el conjunto vacío, los siguientes tipos de operaciones se cuentan como lógicos en la propuesta:

  1. Funciones de verdad: Todas las funciones de verdad son admitidas por la propuesta. Esto incluye, pero no se limita a, todas las funciones de verdad n-arias para n finito (también admite funciones de verdad con cualquier número infinito de lugares).
  2. Individuos: No hay individuos, siempre que el dominio tenga al menos dos miembros.
  3. Predicados:
  • Un lugar total y nulo (el predicado que tiene todos los miembros del dominio en su extensión y el predicado que no tiene miembros del dominio en su extensión).
  • Total y nulo de dos lugares, así como los predicados de identidad y diversidad (el predicado con el conjunto de todos los pares ordenados de miembros de dominio como su extensión, el predicado con el conjunto vacío como extensión, el predicado con el conjunto de todo orden) pares <una, una> donde una es un miembro del dominio y el predicado con el conjunto de todos los pares de órdenes <una,si> en su extensión, donde una y si son miembros distintos del dominio.
  • nortepredicados -ary en general: todos los predicados definibles desde el predicado de identidad junto con conjunción, disyunción y negación (hasta cualquier ordinalidad, finita o infinita).
  1. Cuantificadores: Tarski discute explícitamente solo cuantificadores monádicos y señala que todos esos cuantificadores numéricos son admitidos bajo su propuesta. Estos incluyen los cuantificadores universales y existenciales estándar, así como cuantificadores numéricos como "Exactamente cuatro", "Finitamente muchos", "Incontablemente muchos" y "Entre cuatro y nueve millones", por ejemplo. Si bien Tarski no entra en el tema, también está claro que los cuantificadores poliádicos son admitidos en la propuesta. Estos son cuantificadores como, dados dos predicados Fx y Gy, "Más(x, y), "que dice" Más cosas tienen F que tener sol."
  2. Relaciones set-teóricas: Las relaciones como inclusión, intersección y unión aplicadas a subconjuntos del dominio son lógicas en el sentido presente.
  3. Membresía teórica de conjunto: Tarski terminó su conferencia con una discusión sobre si la relación de la teoría de conjuntos de la membresía contaba como lógica en su sentido. Dada la reducción de (la mayoría de) las matemáticas a la teoría de conjuntos, esta era, en efecto, la cuestión de si (la mayoría de) las matemáticas son parte de la lógica. Señaló que si desarrolla la teoría de conjuntos en la línea de una teoría de tipos, la membresía de conjuntos cuenta como lógica, mientras que si desarrolla su teoría de conjuntos de manera axiomática, como en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, cuenta como extralógica.
  4. Nociones lógicas de orden superior.: Tarski limitó su discusión a las operaciones de lógica de primer orden. Sin embargo, no hay nada en su propuesta que lo restrinja explícitamente a la lógica de primer orden (Tarski probablemente restringió su atención a las nociones de primer orden ya que la charla se dio a una audiencia no técnica). Por lo tanto, también se admiten cuantificadores y predicados de orden superior.

De alguna manera, la presente propuesta es el anverso de la de Lindenbaum y Tarski (1936), quienes probaron que todas las operaciones lógicas de Russell y Whitehead Principia Mathematica son invariantes bajo transformaciones uno a uno del dominio sobre sí mismo. La presente propuesta también se emplea en Tarski y Givant (1987).

La propuesta de Tarski fue discutida en trabajos más recientes de Feferman y McGee. Feferman (1999) plantea problemas para la propuesta y sugiere una modificación. La sugerencia de Feferman es sustituir la preservación por homomorfismo arbitrario por la preservación de Tarski por automorfismos. En esencia, esta sugerencia se hace para sortear las dificultades que tiene la propuesta de Tarski al tratar con la igualdad de la operación lógica a través de dominios distintos de una cardinalidad dada y a través de dominios de cardinalidades distintas. La propuesta de Feferman resulta en una restricción radical de términos lógicos en comparación con la propuesta original de Tarski. En particular, termina contando como lógico solo aquellos operadores de lógica estándar de primer orden sin identidad.

McGee (1996) proporciona una descripción precisa de qué operaciones son lógicas en el sentido de la propuesta de Tarski en términos de expresibilidad en un lenguaje que extiende la lógica de primer orden al permitir conjunciones, disyunciones y cuantificaciones arbitrariamente largas sobre secuencias de variables arbitrariamente largas. En ambos casos, "arbitrariamente largo" admite longitudes de cualquier ordinalidad, finita o infinita.

Bibliografía

Fuentes primarias

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    • Muchos de los documentos más importantes de Tarski escritos durante sus años polacos se traducen en esta colección.
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  • Tarski, Alfred. 1956 Álgebras Ordinales. Amsterdam: Holanda del Norte.
  • Tarski, Alfred. 1969. "Verdad y prueba". Científico americano 220: 63-77.
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  • Tarski, Alfred y Steven Givant. 1999. "Sistema de geometría de Tarski". Boletín de lógica simbólica 5: 175-214.
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Fuentes secundarias

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  • Kirkham, Richard. 1992 1995. Teorías de la verdad: una introducción crítica. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 0262611082
  • Maddux, Roger D. 2006. Relación Álgebrasvol. 150 en "Estudios en Lógica y Fundamentos de las Matemáticas". Elsevier Science.
  • Mautner, F. I. 1946. "Una extensión del programa Erlanger de Klein: la lógica como teoría invariante". Revista Americana de Matemáticas 68: 345-384.
  • McGee, Van. 1996. "Operaciones lógicas". Revista de lógica filosófica 25: 567-580.
  • Sinaceur, H. 2001. "Alfred Tarski: cambio semántico, cambio heurístico en la metamatemática". Synthese 126: 49-65.
  • Wolenski, enero de 1989. Lógica y filosofía en la escuela Lvov-Varsovia. Saltador. ISBN 902772749X

Enlaces externos

Todos los enlaces recuperados el 5 de marzo de 2016.

  • Alfred Tarski - Biografía completa de MacTutor
  • Definiciones de la verdad de Tarski (Enciclopedia de filosofía de Stanford) por Wilfred Hodges

Fuentes de filosofía general

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