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Tautología

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UNA Tautología es una afirmación que siempre es cierta debido a su estructura; no requiere suposiciones o evidencia para determinar su verdad. Una tautología no nos brinda información genuina porque solo repite lo que ya sabemos. Por lo tanto, las tautologías generalmente no tienen valor como evidencia o argumento para nada; la excepción es cuando ocurre una tautología al probar la validez de un argumento.

En matemáticas, 'A = A' es una tautología. En la lógica formal de dos valores (es decir, lógica basada en los dos principios: (1) que nada puede ser tanto verdadero como falso al mismo tiempo y de la misma manera, y (2) que cada declaración es verdadera o falsa), las declaraciones 'P → P' (interpretadas en inglés como 'Si P, entonces P' o, a veces y con menos precisión, como 'P implica P'), 'P v ~ P' (en inglés, 'P o no P' o 'Cualquiera P es verdadero o no P es verdadero '), y' P ↔ P '(interpretado en inglés como' P si y solo si P 'o, a veces y con menos precisión, como' P es lógicamente equivalente a P ') son todas tautologías. Cada uno de ellos es siempre cierto.

Algunas personas consideran que las definiciones son tautologías. Por ejemplo, 'soltero' se define como 'hombre soltero'. 'Soltero' y 'hombre soltero' significan lo mismo, así que, al menos según esta comprensión de las definiciones, definir 'soltero' como 'hombre soltero' no nos da cualquier información nueva; simplemente vincula dos términos que son idénticos.

Tautologías versus argumentos válidos

En la lógica formal, un argumento es un conjunto de declaraciones, una o más de las cuales (la premisa o premisas) se ofrecen como evidencia para otra de esas declaraciones (la conclusión). Un argumento es deductivamente válido si y solo si confiere verdad, lo que significa que tiene una estructura que garantiza que si las premisas son ciertas, entonces la conclusión será necesariamente cierta.

Algunos, pero no todos los argumentos, son tautologías. La forma del argumento Modus ponens, por ejemplo, es válido pero no es una tautología. Modus ponens tiene la forma:

  • (Primera o principal premisa): si P entonces Q.
  • (Segunda o menor premisa): P es cierto.
  • (Conclusión): Por lo tanto, Q es cierto.

Es imposible que ambas premisas de ese argumento sean verdaderas y que la conclusión sea falsa. Cualquier argumento de esta forma es válido, lo que significa que es imposible que las premisas sean verdaderas y que la conclusión sea falsa. Pero este argumento no es una simple tautología porque la conclusión no es una simple reformulación de la (s) premisa (s).

Pero el siguiente argumento es válido y una tautología:

  • Premisa: (Cualquier declaración) P.
  • Conclusión (Esa misma afirmación) P.

El argumento tiene la forma, 'Si P, entonces P.' De hecho, es un argumento válido porque no hay forma de que la premisa pueda ser verdadera y la conclusión falsa. Pero es una validez vacía porque la conclusión es simplemente una reformulación de la premisa.

De hecho, todos los argumentos circulares tienen ese carácter: establecen la conclusión como una de las premisas. Por supuesto, la conclusión necesariamente seguirá, porque si una premisa es verdadera y la conclusión es simplemente una reformulación de esa premisa, la conclusión se seguirá de la premisa. Pero, aunque es técnicamente válido, el argumento no sirve para transmitir ninguna información, conocimiento o prueba. Es por eso que los argumentos circulares deben ser rechazados, y por qué demostrar que un argumento es circular es suficiente para demostrar que no es bueno: los argumentos circulares son trivialmente válidos, pero no tienen valor para establecer sus conclusiones.

Declaraciones como tautologías y descubriendo tautologías

Algunas declaraciones, especialmente las declaraciones o expresiones lógicas, pueden entenderse como tautologías. Esto significa que, bajo cualquier interpretación de la verdad o la falsedad de sus partes constituyentes, toda la declaración es siempre verdadera.

Por ejemplo, la declaración lógica: "No es el caso de que la conjunción de P y no-P sea verdadera", simbolizada por '~ (P • ~ P)' (donde ~ es el símbolo de negación y • es el símbolo para conjunción) es una tautología. Esto se puede mostrar mediante una tabla de verdad:

  • ~ (P • ~ P)
  • T (T F F T)
  • T (F F T F)

Lo que significa que si P es verdadero o falso, la conjunción de P y no-P siempre es falsa, por lo que la negación de esa conjunción siempre es verdadera. (Se muestra en la tabla anterior al tener 'T' debajo del signo de negación más a la izquierda, que es el operador principal en esta fórmula lógica).

Una declaración inconsistente es aquella que, cualquiera que sea la verdad o la falsedad de las partes constituyentes, la declaración completa siempre es falsa: el ejemplo más simple de una declaración inconsistente es cualquiera de las formas 'P y no-P'. Entonces, la negación de una declaración inconsistente es siempre cierta, lo que significa que la negación de una declaración inconsistente es una tautología.

Del mismo modo, la negación de una tautología es inconsistente, lo que significa que siempre es falsa.

También es el caso de que un argumento válido, si se expresa en un condicional con la conjunción de sus premisas como el antecedente del condicional y la conclusión como el consecuente del condicional, es una tautología. De hecho, este es un método para probar la validez de los argumentos en forma de lógica de oración: construya un condicional con la conjunción de las premisas como el antecedente y la conclusión como el consecuente, y luego use una tabla de verdad para ver si todo se vuelve siempre cierto bajo toda interpretación posible de la verdad y la falsedad para sus partes constituyentes.

Tal construcción tendría la forma, "(Premisa 1 • Premisa 2 • ... Premisa N, es decir, sin importar cuántas premisas tenga el argumento) → (Conclusión)"

Podemos usar el ejemplo de Modus Tollens, que tiene la forma:

  • (Premisa mayor) Si P entonces Q
  • (Premisa menor) No Q
  • (Conclusión) No P

Haciendo una conjunción del argumento, como se indicó anteriormente, obtendríamos: (P → Q) • (~ Q) → ~ P

Construir una tabla de verdad nos daría:

  • (P → Q) • (~ Q) → ~ P
  • (T T T) F (FT) T FT
  • (T F F) F (TF) T FT
  • (F T T) F (FT) T TF
  • (F T F) T (TF) T TF

En todos los casos, el valor de verdad bajo el operador principal, que es el valor de verdad para toda la expresión (en este ejemplo, es la flecha derecha que une las partes izquierda y derecha de la fórmula), es verdadero, lo que significa que cualquier interpretación de la verdad o la falsedad para P o Q producirá la verdad para toda la fórmula lógica, por lo que toda la fórmula es una tautología, lo que demuestra que la forma lógica original de modus tollens es válido.

El problema con la construcción de tablas de verdad para argumentos que tienen más de unas pocas variables es que las tablas de verdad están limitadas por el hecho de que el número de interpretaciones lógicas (o asignaciones de valor de verdad) que deben verificarse aumenta a 2k, dónde k es el número de variables en la fórmula. Entonces, una tabla de verdad para tres variables tendrá ocho líneas y una para cuatro variables tendrá 16 líneas, lo que significa que se volverá engorroso.

Así, la deducción natural u otros métodos de verificación de fórmulas se convierten rápidamente en una necesidad práctica para superar la "fuerza bruta" búsqueda exhaustiva estrategias de procedimientos de decisión tabular.

También existen tautologías para la lógica de cuantificación. La expresión, "Para todo x, la conjunción de Fx y no Fx es falsa" es una tautología. De manera similar, la expresión, "No hay x tal que Fx y no Fx sea verdadero" también es una tautología. La exploración adicional de esto requeriría el estudio y desarrollo de la lógica de cuantificación.

Referencias

Casi todos los libros de texto de lógica, y ahora hay cientos de ellos, contienen una sección o secciones sobre tautologías.

Tres de estos libros de texto representativos son:

  • Copi, Irving M. y Carl Cohen. Introducción a la lógica. Prentice Hall. (Muchas ediciones; la última, de 2004, es la 12).
  • Hurley, Patrick J. Una introducción concisa a la lógica. Belmont, CA: Wadsworth / Thompson Learning. (Muchas ediciones; la última es la novena).
  • Johnson, Robert M. Fundamentos del razonamiento: un libro de lógica. Belmont, CA: Wadsworth. (La última es la cuarta edición).

También:

  • Reese, William L. "Tautología", en Diccionario de Filosofía y Religión, Edición Nueva y Ampliada. Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press, 1996.

Enlaces externos

Todos los enlaces recuperados el 17 de noviembre de 2015.

Fuentes de filosofía general

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