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Cuantificación

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En lingüística, lógica y matemáticas, etc. cuantificación es el tipo de construcción lingüística que especifica la cantidad de individuos en el dominio del discurso que satisfacen las condiciones dadas. La cuantificación se utiliza tanto en lenguajes naturales como en lenguajes formales, y los elementos lingüísticos, formales o informales, que generan cuantificación se denominan cuantificadores. Los ejemplos de cuantificadores en un lenguaje natural incluyen: cada, algunos, muchos, pocos, más, mitad y no, etc. Los cuantificadores también permiten enunciados cuantificados como "Cada número natural tiene un sucesor", "Algunos números naturales son pares". En los lenguajes formales, los cuantificadores son constructores de fórmulas que producen fórmulas nuevas a partir de números antiguos. Los dos tipos fundamentales de cuantificación en la lógica de predicados son cuantificación universal y cuantificación existencial. El símbolo tradicional para el cuantificador universal "todos" es "∀", una letra invertida "A", y para el cuantificador existencial "existe" es "∃", una letra rotada "E". Estos cuantificadores se han formalizado y considerado en diversas áreas.

Cuantificación en lenguaje natural.

La noción de cuantificación En el contexto de la lingüística, la lógica y las matemáticas denota el tipo de construcción lingüística que especifica la cantidad de individuos en el dominio del discurso que satisfacen las condiciones dadas. Los elementos lingüísticos que generan enunciados cuantificados se denominan cuantificadores. Los ejemplos de cuantificadores en un idioma natural, como el inglés, incluyen: cada, algunos, para todos, la mayoría, la mitad, dos, tres, no, etc. Estas expresiones permiten declaraciones como:

  • Cada vaso de mi pedido reciente estaba astillado.
  • Algunas de las personas de pie al otro lado del río tienen brazaletes blancos.
  • La mayoría de las personas con las que hablé no tenían idea de quiénes eran los candidatos.
  • Todos en la sala de espera tenían al menos una queja contra el Dr. Ballyhoo.
  • No había nadie en su clase que pudiera responder correctamente a todas las preguntas que presentaba.
  • Mucha gente es inteligente.

Importancia de los cuantificadores

Al considerar la siguiente declaración cuantificada:

Todos en la sala son altos.

se podría suponer que si solo hay tres personas en la sala, digamos John, Mary, Bob, la declaración cuantificada puede considerarse equivalente a la siguiente declaración conjunta:

John es alto, Mary es alta y Bob es alto.

Sin embargo, esto no significa que siempre podamos traducir las declaraciones cuantificadas dadas de manera equivalente a algunas declaraciones sin cuantificación. Es posible que no tengamos los nombres de todas las cosas a las que se hace referencia cuando hacemos declaraciones cuantificadas. Además, la declaración no se puede traducir directamente incluso con el conocimiento de los nombres de todos los objetos considerados. Considere la siguiente declaración:

Cada número natural es mayor que -1.

Esta declaración cuantificada puede considerarse traducible a una declaración equivalente sin cuantificación enumerando todas las instancias de "n> -1" con respecto a los números naturales y formando una conjunción infinita de esas instancias de la siguiente forma:

0> -1, y 1> -1, y 2> -1, ..., yn> -1, ...

Sin embargo, esta traducción puede ser un problema desde el punto de vista de los lenguajes naturales, ya que esperamos que las reglas sintácticas de los lenguajes naturales generen expresiones lingüísticas finitas. El problema no se detiene aquí, incluso cuando uno acepta una conjunción tan infinita. Por ejemplo:

Cada número irracional no es 1.

En el caso del caso de números naturales anterior, podríamos enumerar todas las instancias de números naturales y, por lo tanto, podríamos pensar en la posibilidad de formar la conjunción infinita, pero, en nuestro ejemplo actual, los números irracionales no pueden enumerarse. Por lo tanto, no tendríamos forma de enumerar todos los conjuntos a menos que aceptemos que nuestro lenguaje puede contener más elementos de los que se pueden enumerar.

Como podemos ver en estos ejemplos, la cuantificación nos permite expresar una variedad de conceptos que de otro modo podrían ser inexpresables.

Anidamiento de cuantificadores

Muchas declaraciones cuantificadas tienen estructuras anidadas y el orden de cuantificación en una estructura dada es a menudo muy importante para comprender lo que se debe transmitir. Primero:

Para cualquier número natural norte, hay un número natural s tal que s = norte × norte.

Esto es claramente cierto; solo afirma que cada número tiene un cuadrado. El significado de la afirmación en la que se dan vuelta los cuantificadores es bastante diferente:

Hay un número natural s tal que para cualquier número natural norte, s = norte × norte.

Esto es claramente falso; afirma que hay un solo número natural s eso es a la vez el cuadrado de cada número natural. Esto ilustra un punto fundamentalmente importante cuando los cuantificadores están anidados: el orden de alternancia de los cuantificadores es de importancia absoluta.

Además, a diferencia de estos ejemplos, en algunas declaraciones cuantificadas, el orden previsto de cuantificación anidada es ambiguo:

A todos les gusta alguien.

Esto puede significar dos cosas diferentes. Una es que a cada persona le gusta una persona, y los que le gustan son posiblemente diferentes. La otra es que todos aprecian a una persona soltera. Este tipo de ambigüedad abunda en nuestra conversación de todos y lo que se entiende por un enunciado cuantificado dado a menudo debe eliminarse de la información contextual en el discurso.

Rango de cuantificación

La cuantificación implica un dominio del discurso o rango de cuantificación de esa variable. Por ejemplo, en el ejemplo anterior para todos, el dominio del discurso consiste en John, Mary y Bob, y en el ejemplo del número natural, consiste en todos los números naturales.

El dominio del discurso a menudo se especifica implícitamente en términos de información contextual. Por ejemplo, en muchos contextos, el dominio del discurso puede no tener que establecerse explícitamente cuando se puede garantizar que se comparten ciertos supuestos de conversación (por ejemplo, Mary, John y Bob son las personas en cuestión). Ciertas áreas de las matemáticas asumen los objetos que se estudian como es el caso de la teoría de conjuntos, la teoría de grafos, etc. Además, puede haber ciertas convenciones que están asociadas con ciertos contextos. En matemáticas, "norte"a menudo se reserva para cuantificar el dominio de los números naturales mientras que"X, "Para cuantificar sobre números reales. Sin embargo, el dominio de la cuantificación a menudo debe especificarse explícitamente. Para este propósito, usamos lo que se llama 'cuantificación vigilada. Por ejemplo:

Para algún número par norte, norte es primo

Aquí, el dominio pretendido se hace explícito con la frase "número par" después del cuantificador "algunos". En el sentido, las frases "alguien" "nadie", etc., son también ejemplos de cuantificación guardada.

Cuantificación en lenguaje formal

Notación para cuantificadores

En lenguaje formal, el símbolo tradicional para el cuantificador universal es "∀", una letra invertida "A", que significa la palabra "todos". El símbolo correspondiente para el cuantificador existencial es "∃", una letra rotada "E", que significa la palabra "existe". En consecuencia, las expresiones cuantificadas se construyen de la siguiente manera,

dónde "PAGS"denota una fórmula. Se utilizan muchas notaciones variantes, como

Todas estas variaciones también se aplican a la cuantificación universal. Otras variaciones para el cuantificador universal son

Los documentos de principios del siglo XX no usan el símbolo ∀. La notación típica era (X)PAGS expresar "para todos X, PAGS, "y" (∃X)PAGS"para" existe X tal que PAGS"El símbolo ∃ fue acuñado por Giuseppe Peano alrededor de 1890. Más tarde, alrededor de 1930, Gerhard Gentzen introdujo el símbolo ∃ para representar la cuantificación universal. Frege's Begriffsschrift usó una notación completamente diferente, que no incluía un cuantificador existencial en absoluto; ∃X PAGS siempre se representaba con el equivalente Begriffsschrift de ∀X PAGS.

Semántica formal

Ahora ilustramos la forma en que los cuantificadores son tratados en lenguajes formales tomando el ejemplo de la lógica de primer orden. Los lectores son referidos al cálculo de predicados para más detalles.

Una interpretación para el cálculo de predicados de primer orden supone que se les da un dominio de individuos X. Una fórmula UNA cuyas variables libres son X1,… , Xnorte se interpreta como una función de valor booleano F(v1,… , vnorte) de norte argumentos, donde cada argumento se extiende sobre el dominio X. Valor booleano significa que la función asume uno de los valores T (interpretado como verdad) o F (Interpretado como falsedad). La interpretación de la fórmula.

es la función sol de norte-1 argumentos tales que sol(v1,… ,vnorte-1) = T si y solo si F(v1,… , vnorte-1, w) = T para cada w en X. Si F(v1,… , vnorte-1, w) = F para al menos un valor de w, luego sol(v1,… ,vnorte-1) = F. Del mismo modo, la interpretación de la fórmula

es la función H de norte-1 argumentos tales que H(v1,… ,vnorte-1) = T si y solo si F(v1,… ,vnorte-1, w) = T por al menos uno w y H(v1,… , vnorte-1) = F de otra manera.

La semántica para la cuantificación de la unicidad requiere un cálculo predicado de primer orden con igualdad. Esto significa que se le da un predicado distinguido de dos posiciones "="; la semántica también se modifica en consecuencia para que "=" siempre se interprete como la relación de igualdad de dos lugares en X. La interpretación de

entonces es la función de norte-1 argumentos, que es el lógico y de las interpretaciones de

Historia de la formalización

Término lógico trata la cuantificación de una manera más cercana al lenguaje natural, y también menos adecuada para el análisis formal. Lógica aristotélica tratado Todos', Algunos y No en el siglo I a.E.C., en un relato que también toca las modalidades alethic.

El primer tratamiento de cuantificación basado en variables fue el 1879 de Gottlob Frege Begriffsschrift. Para cuantificar universalmente una variable, Frege haría un hoyuelo en una línea recta que de otro modo aparecería en sus fórmulas esquemáticas, luego escribiría la variable cuantificada sobre el hoyuelo. Frege no tenía una notación específica para la cuantificación existencial, sino que usaba el equivalente de . El tratamiento de la cuantificación de Frege no se observó en gran medida hasta el 1903 de Bertrand Russell. Principios de matemática.

Mientras tanto, Charles Sanders Peirce y su alumno O. H. Mitchell inventaron independientemente el cuantificador existencial y universal, en un trabajo que culminó en Peirce (1885). Peirce y Mitchell escribieron ΠX y ΣX donde ahora escribimos ∀X y ∃X. Esta notación se puede encontrar en los escritos de Ernst Schroder, Leopold Loewenheim, Thoralf Skolem y lógicos polacos en la década de 1950. Es la notación del histórico documento de Kurt Goedel de 1930 sobre la integridad de la lógica de primer orden, y el documento de 1931 sobre la incompletitud de la aritmética de Peano. Se puede ver que los gráficos existenciales posteriores de Peirce presentan variables tácitas cuya cuantificación está determinada por la instancia más superficial. El enfoque de Peirce para la cuantificación influyó en Ernst Schroder, William E. Johnson y toda Europa a través de Giuseppe Peano. La lógica de Pierce ha atraído bastante atención en las últimas décadas por aquellos interesados ​​en el razonamiento heterogéneo y la inferencia esquemática.

Peano notó el cuantificador universal como (X). Por lo tanto "(X)φ "indicó que la fórmula φ era verdadera para todos los valores de X. Fue el primero en emplear, en 1897, la notación (∃X) para cuantificación existencial. los Principia Mathematica de Whitehead y Russell emplearon la notación de Peano, al igual que Quine y Alonzo Church a lo largo de sus carreras. Gentzen introdujo el símbolo ∀ 1935 por analogía con el símbolo ∃ de Peano. ∀ no se convirtió en canónico hasta la década de 1950.

Referencias

  • Barwise, Jon y John Etchemendy. Lenguaje, prueba y lógica.. Stanford, California: Publicaciones CSLI, 2002. ISBN 1889119083
  • Frege, Gottlob. 1879. Begriffsschrift. Traducido por Jean van Heijenoort, 1967. De Frege a Godel: un libro fuente sobre lógica matemática, 1879-1931. Harvard Univ. Prensa.
  • Hilbert, David y Wilhelm Ackermann. 1950 (1928). Principios de lógica teórica. Chelsea Traducción de Grundzüge der teoríatischen Logik. Springer-Verlag.
  • Peirce, Charles. 1885. "Sobre el álgebra de la lógica: una contribución a la filosofía de la notación" Revista Americana de Matemáticas 7: 180-202. Reimpreso por Kloesel, N. et al., (Eds.), 1993. Escritos de C. S. Peirce, vol. 5 5. Indiana Univ. Prensa.
  • Reichenbach, Hans. 1975 (1947). Elementos de lógica simbólica. Dover Pubns, 1980. ISBN 0486240045
  • Westerstahl, Dag. "Cuantificadores" en Goble, Lou (ed.), La guía de Blackwell a la lógica filosófica. Malden, Mass .: Blackwell Publishers, 2001. ISBN 0631206922

Enlaces externos

Todos los enlaces recuperados el 17 de junio de 2019.

  • Cuantificadores generalizados Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Fuentes de filosofía general

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