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Logaritmo

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Estas relaciones hicieron que tales operaciones en dos números fueran mucho más rápidas y el uso adecuado de los logaritmos era una habilidad esencial antes de que las calculadoras multiplicadoras estuvieran disponibles.

los La ecuación es fundamental (implica efectivamente las otras tres relaciones en un campo) porque describe un isomorfismo entre grupo aditivo y el grupo multiplicativo en el campo.

Para multiplicar dos números, uno encontró los logaritmos de ambos números en una tabla de logaritmos comunes, los sumó y luego buscó el resultado en la tabla para encontrar el producto. Esto es más rápido que multiplicarlos a mano, siempre que se necesiten más de dos cifras decimales en el resultado. La tabla necesaria para obtener una precisión de siete decimales podría caber en un libro grande, y la tabla para nueve decimales ocupaba algunos estantes.

El descubrimiento de logaritmos justo antes de la era de Newton tuvo un impacto en el mundo científico que se puede comparar con la invención de la computadora en el siglo XX, porque muchos cálculos demasiado laboriosos se hicieron factibles.

Cuando se inventó el cronómetro en el siglo XVIII, los logaritmos permitieron que todos los cálculos necesarios para la navegación astronómica se redujeran a simples adiciones, acelerando el proceso en uno o dos órdenes de magnitud. Una tabla de logaritmos con cinco decimales, más logaritmos de funciones trigonométricas, fue suficiente para la mayoría de los cálculos de navegación astronómica, y esas tablas caben en un pequeño libro.

Para calcular las potencias o raíces de un número, se buscó el logaritmo común de ese número y se multiplicó o dividió por la raíz. La interpolación podría usarse para una precisión aún mayor. Las reglas de cálculo usaban logaritmos para realizar las mismas operaciones más rápidamente, pero con mucha menos precisión que usar tablas. Otras herramientas para realizar multiplicaciones antes de la invención de la calculadora incluyen los huesos y las calculadoras mecánicas de Napier: vea la historia del hardware informático.

Cálculo

La derivada de la función logaritmo natural es

(A continuación se muestra una prueba).

Al aplicar la regla de cambio de base, la derivada para otras bases es

La antiderivada del logaritmo es

Ver también: tabla de límites de funciones logarítmicas, lista de integrales de funciones logarítmicas.

Prueba de la derivada.

La derivada de la función de logaritmo natural se encuentra fácilmente a través de la regla de función inversa. Dado que el inverso de la función de logaritmo es la función exponencial, tenemos . Como la derivada de la función exponencial es en sí misma, el lado derecho de la ecuación se simplifica a , la exponencial cancelando el logaritmo.

Ordenadores

Al considerar las computadoras, el caso habitual es que el argumento y el resultado de la La función es alguna forma de tipo de datos de coma flotante. Tenga en cuenta que la mayoría de los lenguajes de computadora usan para esta función mientras que el normalmente se denota log10 (x).

Como el argumento es de coma flotante, puede ser útil considerar lo siguiente:

Un valor de coma flotante x está representado por una mantisa metro y exponente norte formar

Por lo tanto

Por lo tanto, en lugar de computar calculamos para algunos m tal que . Teniendo en este rango significa que el valor siempre está en el rango . Algunas máquinas usan la mantisa en el rango y en ese caso el valor para u estará en el rango En cualquier caso, la serie es aún más fácil de calcular.

Generalizaciones

El logaritmo ordinario de los reales positivos se generaliza a argumentos negativos y complejos, aunque es una función multivalor que necesita un corte de rama que termine en el punto de rama en 0 para hacer una función ordinaria o rama principal. El logaritmo (a base mi) de un número complejo z es el número complejo ln (|z|) + yo arg(z), donde |zEl | es el módulo de z, arg(z) es el argumento y yo es la unidad imaginaria

El logaritmo discreto es una noción relacionada en la teoría de los grupos finitos. Implica resolver la ecuación sinorte = X, dónde si y X son elementos del grupo, y norte es un número entero que especifica una potencia en la operación del grupo. Para algunos grupos finitos, se cree que el logaritmo discreto es muy difícil de calcular, mientras que los exponenciales discretos son bastante fáciles. Esta asimetría tiene aplicaciones en criptografía de clave pública.

El logaritmo de una matriz es el inverso de la matriz exponencial.

UNA doble logaritmo, , es la función inversa de la función exponencial doble. UNA superlogaritmo o hiperlogaritmo es la función inversa de la función super-exponencial. El súper logaritmo de X crece aún más lentamente que el doble logaritmo para grandes X.

Por cada positivo si no es igual a 1, el registro de funcionessi (X) es un isomorfismo del grupo de números reales positivos bajo multiplicación al grupo de (todos) números reales bajo suma. Son los únicos isomorfismos que son continuos. La función de logaritmo se puede extender a una medida de Haar en el grupo topológico de números reales positivos bajo multiplicación.

Notas

  1. ^ James Mills Peirce, Los elementos de los logaritmos con una explicación de las tablas de tres y cuatro lugares de las funciones logarítmicas y trigonométricas (1873).
  2. 2.0 2.1 Foro de Matemáticas, Logaritmos: Historia y Uso Recuperado el 20 de noviembre de 2018.
  3. ^ Instituto de actuarios de Gran Bretaña, Revista del Instituto de Actuarios y Revista Assurance, 1873, vol. 17 (Libros olvidados, 2018, 978-0366971244).
  4. ↑ Charles Knight Inglés Cyclopaedia, Biografía, Vol. IV., Artículo "Prony".
  5. ^ MathWorld, Logaritmo común. Consultado el 20 de noviembre de 2018.

Referencias

  • Instituto de Actuarios de Gran Bretaña, Revista del Instituto de Actuarios y Revista Assurance, 1873, vol. 17. Libros olvidados, 2018. 978-0366971244
  • Caballero Charles The English Cyclopaedia, vol. 4 4. Libros olvidados, 2012.
  • Peirce, James Mills. Los elementos de los logaritmos con una explicación de las tablas de tres y cuatro lugares de las funciones logarítmicas y trigonométricas. Andesite Press, 2015. ISBN 978-1297495465
  • Przeworska-Rolewicz, D. Logaritmos y antilogaritmos: un enfoque de análisis algebraico con un apéndice de Zbigniew Binderman (Matemáticas y sus aplicaciones). Nueva York, NY: Springer, 1998. ISBN 0792349741.
  • REA Math Made Nice & Easy # 2: porcentajes, exponentes, radicales, logaritmos y conceptos básicos de álgebra (Math Made Nice & Easy). Piscataway, NJ: Asociación de Investigación y Educación, 1999. ISBN 0878912010.
  • Ryffel, Henry, Robert Green, Holbrook Horton y Edward Messal. Matemáticas en el trabajo. Nueva York, NY: Industrial Press, Inc., 1999. ISBN 0831130830.

Enlaces externos

Todos los enlaces recuperados el 20 de noviembre de 2018.

  • Explicando los logaritmos matemáticos.
  • Logaritmo en MathWorld.
  • Jost Burgi, inventor suizo de logaritmos.
  • Calculadoras de logaritmos y problemas de palabras con el trabajo mostrado, para estudiantes escolares.
  • Logaritmos: del pequeño manual de práctica estadística.
  • Funciones logarítmicas

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